Source Latex: Devoir de mathématiques, Transformée de Laplace, série de Fourier

BTS

Transformée de Laplace, série de Fourier

Devoir de mathématiques en BTS: équation différentielle et Transformée de Laplace, série de Fourier
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir de mathématiques en BTS: équation différentielle et Transformée de Laplace, série de Fourier
Niveau
BTS
Table des matières
  • Nombres complexes
  • Nombres complexes, fonction de transfert du 1er ordre (BTS, Nouvelle Calédonie, 2006)
  • Série de Fourier
  • Équation différentielle et transformée de Laplace
Mots clé
Fourier, Laplace, équation différentielle, BTS, maths, devoir corrigé

Quelques autres devoirs


Voir aussi:

Documentation sur LaTeX lien vers la documentation Latex
Source Latex LaTex icone

Source Latex 

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add}
%\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tabularx}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de math�matiques - BTS},
    pdftitle={Devoir de math�matiques - BTS},
    pdfkeywords={Math�matiques, BTS, 
      S�rie de Fourier, Fourier, Transform�e de Laplace, Laplace}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-2.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.5cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.2cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques - BTS}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

%\lfoot{Y. Morel\\ \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\lfoot{\TITLE}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.8cm}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}

%\hspace{-0.8cm}\ul{\bf\emph{Formulaire de math�matiques autoris�.}}
%\vspace{0.5cm}

\bgex
Soit $f(z)=\dfrac{z+i}{z-2i}$, pour $z\not=2i$. 

\bgen
\item R�soudre dans $\C$ l'�quation $f(z)=2i$. 
  Donner les solutions sous forme alg�brique. 
\item Quel est l'ensemble des points $P$ d'affixe $z$ tel que 
  $f(z)$ soit un nombre imaginaire pur ? 
\item Quel est l'ensemble des points $P$ d'affixe $z$ tel que 
  $f(z)$ soit un nombre r�el ? 
\enen
\enex

\bgex {\it Nouvelle-Cal�donie\quad 2006} 

\noindent
{\bf Partie B.} 

On note $j$ le complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On prend $p=j\omega$ o� $\omega$ d�signe un nombre r�el positif. 
On a alors: $H(j\omega)=\dfrac{1}{1+j\omega}$. 

\vspd
On munit le plan d'un rep�re orthonormal $\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$ 
d'unit� graphique 10 cm. 

\bgen
\item Montrer que l'ensemble $(\Delta)$ des points $m$ d'affixe
  $z=1+j\omega$ lorsque $\omega$ d�crit l'intervalle $[0;+\infty[$ est
    une demi-droite que l'on caract�risera. 

\item Quel est l'ensemble $(\mathcal{C})$ des points $M$ d'affixe 
  $Z=\dfrac{1}{1+j\omega}$ lorsque $\omega$ d�crit l'intervalle 
  $[0;+\infty[$ ? 

\item Repr�senter dans le rep�re $\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$ les
  ensembles $(\Delta)$ et $(\mathcal{C})$. 
\enen

\enex



\vspq
\bgex
Soit la fonction num�rique $f$ d�finie sur $\R$, 
paire et $2$-p�riodique, telle que 
\[f(t)=2t-1 \ , \quad\text{pour}\  t\in[0;1]\ . \]

On note $S(t)$ la s�rie de Fourier associ�e � $f$. 

\bgen
\item Repr�senter $f$ sur l'intervalle $[-3;+3]$ dans un rep�re. 
\item Calculer le coefficient $a_0$ de la s�rie de Fourier $S(t)$. 
\item D�terminer les coefficents $a_n$ et $b_n$ de la s�rie de Fourier
  $S(t)$. 

  Pr�ciser les valeurs de rang pair et impair des coefficients $a_n$: 
  $a_{2p}\ \text{et }\  a_{2p+1} \ , 
  \text{pour } p\in\N\ .
  $
\item Ecrire la s�rie $S(t)$. 

  A-t-on $f(t)=S(t)$ pour tout $t$ r�el ?

\item Montrer que la s�rie 
  $\dsp U=\sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2p+1)^2}$ 
  est convergente, et d�terminer sa somme. 
\enen
\enex


\vspq
%\clearpage
\bgex
L'�tude d'un mouvement amorti conduit � consid�rer la fonction causale
$f$ v�rifiant l'�quation diff�rentielle $(E)$: 
\[
f''(t)+2f'(t)+2f(t)=e^{-t} \ ,
\quad
\text{ pour } t\geqslant 0 \ , 
\quad
\text{ avec } 
\la\bgar{ll}
f(0)=1\vspd\\
f'(0)=0
\enar\right.
\]
On suppose que la fonction $f$ et ses d�riv�es admettent des
transform�es de Laplace, et on note $F=\mathcal{L}(f)$ la transform�e
de Laplace de $f$. 

\bgen
\item Montrer que 
  \[
  F(p)=\frac{p^2+3p+3}{(p^2+2p+2)(p+1)}
  \]
\item D�terminer les coefficients $a$, $b$ et $c$ de la d�composition
  en �l�ments simples de $F(p)$: 
  \[
  \frac{p^2+3p+3}{(p^2+2p+2)(p+1)}
  =\frac{a}{p+1}+\frac{bp+c}{p^2+2p+2}
  \]
\item 

  \bgen[a.] 
  \item D�terminer la fonction causale $g$, originale de la fonction
    $G$ o�: 
    \[
    G(p)=\frac{1}{p^2+2p+2}
    \]
  \item D�terminer l'expression de la fonction $f$, 
    et tracer sa repr�sentation graphique. 
  \enen
\enen
\enex


\bgex
On consid�re la fonction $f$, $\dfrac{\pi}{2}$-p�riodique, 
telle que, pour tout $x\in\Bigl]0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$, 
$f(x)=\sin x$. 

On note $S(x)$ la s�rie de Fourier associ�e � $f$.  

\bgen
\item Tracer dans un rep�re la repr�sentation graphique de la fonction
  $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$. 
\item D�terminer le coefficient $a_0$ de la s�rie $S(x)$. 
\item D�terminer les coefficients $b_n$, $n\geqslant1$ de la
  s�rie $S(x)$. 
\item Montrer que, pour $n\geqslant 1$, 
  $a_n=\dfrac{4}{\pi(4n+1)(1-4n)}$. 
\item 
  \bgen
  \item D�terminer les limites suivantes: 
    \[
    \lim_{x\to0^+}f(x)\ ;\ 
    \lim_{x\to0^-}f(x)\ ;\ 
    \lim_{x\to0^+}f'(x)\ ;\ 
    \lim_{x\to0^-}f'(x)\ ;\ 
    \]
  \item Ecrire le d�veloppement en s�rie de Fourier $S(x)$. 

    Montrer que les s�ries num�riques suivantes sont convergentes: 
    \[
    S_1=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1-16n^2}
    \quad ; \quad
    S_2=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1-16n^2}\ .
    \]

    A partir du d�veloppement en s�rie de Fourier $S(x)$, 
    d�terminer les valeurs de ces deux s�ries num�riques. 
  \enen
\enen
\enex


\end{document}

Télécharger le fichier source Latex