Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Série de Fourier - Transformée de Laplace
BTS
Série de Fourier - Transformée de Laplace
Devoir corrigé de mathématiques en BTS: Transformée de Laplace, série de Fourier- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
- File type: Latex, tex (source)
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- Description
- Devoir corrigé de mathématiques en BTS: Transformée de Laplace, série de Fourier
- Niveau
- BTS
- Table des matières
- Transformée de Laplace
- Série de Fourier (BTS 2011)
- Mots clé
- Fourier, Laplace, BTS, maths, devoir corrigé
- Sujet du devoir
- Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{a4wide} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} %\usepackage{pst-all} %\usepackage{pstricks-add} \usepackage{tabularx} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Devoir de math�matiques - BTS}, pdftitle={Devoir de math�matiques - BTS}, pdfkeywords={Math�matiques, BTS, S�rie de Fourier, Fourier, Transform�e de Laplace, Laplace} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, pagecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-2.2cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\tht{\theta} \def\vphi{\varphi} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \nwc{\limcdt}[4]{ $\dsp \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar} {#3}={#4}$ } \nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ } \headheight=0cm \textheight=26.5cm \topmargin=-1.8cm \footskip=1.2cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1cm \parindent=0.2cm \newlength{\ProgIndent} \setlength{\ProgIndent}{0.3cm} \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspq\noindent \ul{D�monstration:} #1 \hfill$\square$ } % "Cadre" type Objectifs.... \nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ } \newlength{\lgObjTitle} \newlength{\hgObj} \newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle} \newcommand{\Obj}[1]{% \begin{flushright}% \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle} \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}} \bgmp{17.1cm} \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp \enmp \end{flushright} } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} \renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de math�matiques - BTS} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} %\lfoot{Y. Morel\\ \url{https://xymaths.fr}} \rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}} \lfoot{\TITLE} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-0.8cm} \ct{\LARGE \bf \TITLE} \vspace{0.4cm} \textbf{Exercice 1}\hfill{\bf 8 points} \bgen \item D�terminer les transform�es de Laplace $F$ et $G$ des fonctions $f$ et $g$ d�finies par: \[\bgar{ll} f(t)=\lp \cos 2t - 3\sin 4t\rp \mathcal{U}(t) &\Longrightarrow F(p) =\dfrac{p}{p^2+2^2}-3\dfrac{4}{p^2+4^2} =\dfrac{p}{p^2+4}-\dfrac{12}{p^2+16} \\[0.6cm] g(t)=\cos\lp t-\dfrac{\pi}{6}\rp\,\mathcal{U}\lp t-\dfrac{\pi}{6}\rp &\Longrightarrow G(p) =e^{-\frac{\pi}{6}p} \dfrac{p}{p^2+1} \enar\] \item \bgmp[t]{9cm} $f$ est un cr�neau: $f(t)=\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-2)$. On a alors, \[ F(p)=\dfrac{1}{p}-e^{-2p}\dfrac{1}{p} =\dfrac{1-e^{-2p}}{p} \] \enmp \bgmp{8cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,2.4) \multido{\i=-2+1}{7}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2) \rput(\i,-0.2){$\i$} } \multido{\i=-1+1}{4}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i) \rput(-0.2,\i){$\i$} } \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0) \psline[linewidth=2pt](0,1)(2,1) \psline[linewidth=2pt](2,0)(4.5,0) \end{pspicture} \enmp \item \bgmp[t]{9.3cm} En temps, on a $ f(t)=\la\bgar{lll} 0 &\text{ si } & t\leqslant 0 \\ t &\text{ si } & 0\leqslant t\leqslant 1 \\ -t + 2 &\text{ si } & 1\leqslant t\leqslant 3 \\ 0 &\text{ si } & t\geqslant 3 \\ \enar\right. $ soit $ f(t)=t\,\mathcal{U}(t)- 2\lp t-1\rp\mathcal{U}(t-1) +\lp t-2\rp\mathcal{U}(t-2) $ \enmp \bgmp{8cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-1.5)(4,2.5) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,2.4) \multido{\i=-2+1}{7}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-1.2)(\i,2.2) \rput(\i,-0.2){$\i$} } \multido{\i=-1+1}{4}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-2.2,\i)(4.2,\i) \rput(-0.2,\i){$\i$} } \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(0,0) \psline[linewidth=2pt](0,0)(1,1) \psline[linewidth=2pt](1,1)(2,0) \psline[linewidth=2pt](2,0)(4.5,0) \end{pspicture} \enmp \vspd Ainsi, $F(p)=\dfrac{1}{p^2}-2e^{-p}\dfrac{1}{p^2}+e^{-2p}\dfrac{1}{p^2} =\dfrac{1-2^{-p}+e^{-2p}}{p^2} $ \enen \vspt \textbf{Exercice 2}\quad{\it Session 2011} \hfill{\bf 12 points} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Voir figure \ref{fc_a11} du document r�ponse. \item On a \qquad $\dsp a_0 =\frac{1}{2}\int_{-1}^1 f(t)\,dt =\frac12 \int_{-1}^1 0,5 (t+1)\,dt =\frac14 \lb\frac12 t^2 +t\rb_{-1}^1 =\frac14 \times 2 =\frac12 $ \item \begin{enumerate} \item On a \quad $\dsp\omega =\frac{2 \pi}{T} =\frac{2 \pi}{2} =\pi$ \item On a, pour $n=1$ : \begin{align*} b_1&=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 f(t)\sin (n \omega t) \,dt =\frac{2}{2}\int_{-1}^1 0,5 (t+1)\sin ( \pi t) \,dt \\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 (t+1)\sin ( \pi t) \,dt \end{align*} On proc�de � une int�gration par parties en posant \[ \begin{cases} u(t)=t+1\\ v'(t)=\sin \pi t \end{cases} \quad \begin{cases} u'(t)=1\\ \dsp v(t)=-\frac{1}{ \pi}\cos \pi t \end{cases} \] d'o� \begin{align*} \int_{-1}^1 (t+1)\sin ( \pi t) \,dt &=\lb-\frac{1}{\pi} (t+1) \cos \pi t\rb_ {-1}^1 +\frac{1}{\pi}\int_{-1}^1 \cos \pi t \,dt \\ &=-\frac{2}{\pi}\cos \pi +\frac{1}{\pi^2} \lb\sin \pi t \rb_{-1}^1 =\frac{2}{\pi} \end{align*} En rempla�ant, on obtient alors $ b_1=\dfrac{1}{\pi}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On a, pour tout nombre r�el $t\in]-1;1[,\quad g(t)=0,5 t$. Pour la repr�sentation graphique, voir figure \ref{gc_a11} du document r�ponse. \item Comme la fonction $g$ est impaire, la courbe repr�sentative de la fonction $g$ est sym�trique par rapport � l'origine du rep�re. \item La fonction $g$ �tant impaire, pour tout entier naturel $n$, les coefficients de Fourier $a_n(g)$ sont nuls. Or, on a, pour $n\geq 1$ : \begin{align*} a_n(g)&=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 g(t)\cos n \pi t \,dt =\frac{2}{T}\int_{-1}^1 \lp f(t)-0,5\rp\cos n \pi t \,dt\\ &=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 f(t)\cos n \pi t \,dt -0,5 \times\frac{2}{T}\int_{-1}^1 \cos n \pi t \,dt\\ &=a_n(f)-\frac{1}{T}\lb\frac{1}{n \pi} \sin (n \pi t )\rb_{-1}^1 =a_n(f) \end{align*} D'o�, pour tout entier naturel $n\geq 1, \quad a_n=0$. \end{enumerate} \item On a $\dsp f^2 (t)=\frac14 (t+1)^2$, d'o� \[ f^2_{eff}=\frac12\int_{-1}^1 \lp f(t)\rp^2 \,dt =\frac18 \int_{-1}^1 (t+1)^2 \,dt =\frac18 \lb\frac13 (t+1)^3\rb_{-1}^1 =\frac18 \times \frac13\times 2^3 =\frac13 \] \item \begin{enumerate} \item On a $\dsp P=\frac14 + \frac{1}{2 \pi^2}\sum_{k=1}^5 \frac{1}{k^2} =\frac14 + \frac{1}{2 \pi^2} \frac{5269}{3600} \approx 0,324 $, d'o�\quad $\dfrac{P}{f^2_{eff}}\approx 0,972$ \item L'erreur commise est\quad $\dsp \dfrac{f^2_{eff}-P}{f^2_{eff}} =1- \frac{P}{f^2_{eff}} \approx 0,028 \approx 2,8\% $ \end{enumerate} \end{enumerate} %\newpage \begin{center} \textbf{Document r�ponse num�ro 2 \label{doc_1c} � joindre � la copie} \end{center} \begin{figure}[!ht] \centering \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4.1,-1.)(4.1,1.) \psaxes[labelFontSize=\scriptsize,ticksize=-2pt , Dy=.5]{-}(0,0)(-4.1,-1.2)(4.1,1.2) \psline[linecolor=red]{-[}(-4,.5)(-3,1) \psline[linecolor=red]{]-[}(-3,0)(-1,1) \psline[linecolor=red]{]-[}(-1,0)(1,1) \psline[linecolor=red]{]-[}(1,0)(3,1) \psline[linecolor=red]{]-}(3,0)(4,.5) \multido{\i=-3+2}{4} { \pstGeonode[PointSymbol=*,PointName=none,linecolor=red](\i,0.5){A} } \pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0} \end{pspicture} \caption{repr�sentation graphique de la fonction $f$ } \label{fc_a11} \end{figure} \begin{figure}[h] \centering \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(-4.1,-1.)(4.1,1.) \psaxes[labelFontSize=\scriptsize, ticksize=-2pt 0,Dy=.5]{-}(0,0)(-4.1,-1.2)(4.1,1.2) \psline[linecolor=red]{-[}(-4,0)(-3,.5) \psline[linecolor=red]{]-[}(-3,-.5)(-1,.5) \psline[linecolor=red]{]-[}(-1,-.5)(1,.5) \psline[linecolor=red]{]-[}(1,-.5)(3,.5) \psline[linecolor=red]{]-}(3,-.5)(4,0) \multido{\i=-3+2}{4} { \pstGeonode[PointSymbol=*,PointName=none,linecolor=red](\i,0){A} } \pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=none](0,0){0} \end{pspicture} \caption{repr�sentation graphique de la fonction $g$} \label{gc_a11} \end{figure} \end{document}
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