Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Transformée de Laplace, série de Fourier

BTS

Transformée de Laplace, série de Fourier

Devoir corrigé de mathématiques en BTS: équation différentielle et Transformée de Laplace, série de Fourier

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Description

Devoir corrigé de mathématiques en BTS: équation différentielle et Transformée de Laplace, série de Fourier

Niveau

BTS

Table des matières

Série de Fourier (BTS, Groupement A1, Nouvelle Calédonie, 2006)
Transformée de Laplace (BTS, Groupement A1, Nouvelle Calédonie, 2006)

Mots clé

Fourier, Laplace, équation différentielle, BTS, maths, devoir corrigé

Corrigé du devoir

Quelques autres devoirs

Devoir corrigé

Équation différentielle, complexes et séries de Fourier

corrigé en BTS: équation différentielle, nombres complexes et Séries de Fourier

Devoir corrigé

Transformée de Laplace, étude de fonctions et séries de Fourier

corrigé en BTS: équation différentielle, séries de Fourier, étude de fonction (dérivée, limites)

Devoir corrigé

Transformée de Laplace, étude de fonctions et séries de Fourier (bis)

corrigé en BTS: équation différentielle, séries de Fourier, étude de fonction (dérivée, limites)

Devoir corrigé

Nombres complexes et transformations complexes - Transformée de Laplace - Séries numériques et de Fourier

corrigé en BTS: Nombres complexes et transformations du plan complexe - équation différentielle - Séries de Fourier - Étude de fonction (dérivée, limites)

Devoir corrigé

Séries de Fourier - Transformée de Laplace et équation différentielle

corrigé en BTS: Séries de Fourier - Transformée de Laplace et équation différentielle

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

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Source Latex

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de math�matiques - BTS},
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      S�rie de Fourier, Fourier, Transform�e de Laplace, Laplace}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\vphi{\varphi}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
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  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{BTS Groupement A}
\author{Y. Morel}
\date{}

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%\lfoot{Y. Morel\\ \url{https://xymaths.fr}}
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\lfoot{\TITLE}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.8cm}


\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}

\hspace{-0.8cm}\ul{\bf\emph{Formulaire de math�matiques autoris�.}}

\vspace{0.5cm}

\noindent 
\textbf{Exercice 1\ {\it BTS, Groupement A1, Nouvelle Cal�adonie, 2006} \hfill 10 points}

\vspd
On consid�re la fonction $\varphi$ d�finie sur $\R,~ 2\pi$-p�riodique,
et telle que : 

\[\left\{\bgar{lclcl}
\varphi(t)&=&t&\quad \text{si}&0 \leqslant t < \pi \vspd\\
\varphi(t)&=&0&\quad \text{si}& \pi \leqslant t < 2\pi\\
\enar\right.\]

On note $S(t)$ d�veloppement de Fourier associ� � la fonction
$\varphi$ ; les coefficients de Fourier associ�s \`a la fonction
$\varphi$ sont not�s $a_{0},~ a_{n},~ b_{n}$ o� $n$ est un nombre
entier naturel non nul. 

\bgen
\item Repr�senter graphiquement la fonction $\varphi$ sur l'intervalle
  $[-2\pi~;~ 4\pi]$.  
\item
  \bgen[a.]
  \item Calculer $a_{0}$, la valeur moyenne de la fonction $\varphi$
    sur une p�riode. 
  \item On rappelle que pour une fonction $f$, p�riodique de p�riode
    $T$ le carr� de la valeur efficace sur une p�riode est donn� par :
    $\mu_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\dsp\int_{0}^{T} [f(t)]^2\:dt$. 
		
    Montrer que $\mu_{\text{eff}}^2$, le carr� de la valeur efficace de
    la fonction sur une p�riode, est �gal � $\dfrac{\pi^2}{6}.$ 
\enen

\item Montrer que. pour tout nombre entier $n \geqslant 1$,  on a :
  $a_{n} = \dfrac{1}{\pi n^2}[\cos (n \pi) - 1]$. 

  On admet que, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$, on a :
  $b_{n} = - \dfrac{\cos (n \pi)}{n}$.

\item On consid�re la fonction $S_{3}$ d�finie sur $\R$ par :

  \[S_{3}(t) 
  = a_{0} + \sum_{n=1}^3 \left[a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin (nt)\right]\] 
  o� les nombres $a_{0},~ a_{n}~, b_{n}$ sont les coefficients de
  Fourier associ�s \`a la fonction $\varphi$ d�finie pr�c�demment.  
  \bgen[a.]
  \item Recopier et compl�ter le tableau avec les valeurs exactes des
    coefficients demand�s. 
			
\medskip

\begin{tabular}{|*{7}{p{2cm}|}}\hline
$a_{0}$&$a_{1}$&$b_{1}$&$a_{2}$& $b_{2}$&$a_{3}$
&$b_{3}$\\ \hline
&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}&&&&$- \dfrac{2}{9\pi}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline
\end{tabular}

\medskip
\item  Calculer la valeur exacte de $S_{3}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
  puis donner la valeur approch�e de
  $\varphi\left(\dfrac{\pi}{4}\right) -
  S_{3}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ 
  arrondie \`a $10^{-2}$.
\enen
\item On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le
  carr� de la valeur efficace $\mu_{3}^2$ de la fonction $S_{3}$. 
  \[\mu_{3}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\left[a_{1}^2
    + b_{1}^2	+ a_{2}^2 + b_{2}^2 + a_{3}^2 + b_{3}^2\right]\]
  
  \bgen[a.]
  \item Calculer la valeur exacte de $\mu_{3}^2$.
  \item Calculer la valeur approch�e de
    $\dfrac{\mu_{3}^2}{\mu_{\text{eff}}^2}$ arrondie � $10^{-2}$. 
  \enen
\enen


\pagebreak
\noindent 
\textbf{Exercice 2\ {\it BTS, Groupement A1, Nouvelle Cal�adonie, 2006} 
\hfill 10 points}

\vspd

Dans ce probl�me, on s'int�resse � un filtre mod�lis� math�matiquement
par l'�quation diff�rentielle suivante : 
\[\left\{\bgar{rcl}
 s'(t) + s(t) &=& e(t)\\
 s(0)&=&0\\
\enar\right.\]
 
La fonction $e$ repr�sente l'entr�e aux bornes du filtre et la
fonction $s$ la sortie. 
 
On admet que les fonctions $e$ et $s$ admettent des transform�es de
Laplace respectivement not�es $E$ et $S$. 
La fonction de transfert $H$ du filtre est d�finie par:
\[S(p) = H(p) \times E(p).\]

On rappelle que la fonction �chelon unit�, not�e $U$, est d�finie par : 
 \[\left\{ \bgar{lclcl}
 U(t)&=&0&\text{si}&t < 0\\
 U(t)&=&1&\text{si}& t \geqslant 0.\\
\enar\right.\]
 
%\textbf{Partie A}

\bgen
\item Montrer que : $H(p) = \dfrac{1}{p+1}$.

\item La fonction $e$ est d�finie par : $e(t) =  tU(t) -  (t - 1)U(t -1)$.

  \bgen[a.]
  \item Repr�senter graphiquement la fonction $e$.
  \item Montrer que: 
    $E(p) = \dfrac{1}{p^2}\left(1 - \text{e}^{-p}\right)$.
  \item En d�duire $S(p)$.
  \item D�terminer les nombres r�els $a,~ b$ et $c$ tels que :
    \[\dfrac{1}{p^2(p+1)}=  \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{p^2} + \dfrac{c}{p + 1}\]	
  \item En d�duire l'original $s$ de $S$.
  \item V�rifier que :
		
    \[\la\bgar{lclcl}
    s(t)&=&0&		\text{si}&t < 0\\
    s(t)&=&t - 1 + \text{e}^{-t}&\text{si}&0 \leqslant t < 1\\
    s(t)&=&1+ (1 - \text{e})\text{e}^{-t}&\text{si}&1 \leqslant t\\
    \enar\right.\] 
  \enen
\item
  \bgen[a.]
  \item Comparer $s\left(1^{-}\right)$ et $s\left(1^{+}\right)$.
  \item Calculer $s'(t)$ et �tudier son signe sur les intervalles 
    $]0~;~ 1[$ et $]1~;~ +\infty[$.
  \item En d�duire le sens de variation de la fonction $s$ sur 
    l'intervalle $]0~:~ + \infty[$.
  \item D�terminer la limite de la fonction $s$ en $+ \infty$.
  \item %%% Hors sujet original: %%%
    Calculer la limite $\dsp\lim_{p\to0} \lp pS(p)\rp$. 
    Quel r�sultat retrouve-t-on ?
  \enen
\end{enumerate}

%\medskip


%\textbf{Partie B}
%\medskip
%
%On note j le complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%On prend $p= \text{j}\omega$  o� $\omega$ d�signe un nombre r�el
%positif. 
%On a alors : $H(\text{j}\omega) = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$.
%
%On munit le plan d'un rep�re orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$ d'unit�
%graphique 10~cm. 
%
%\begin{enumerate}
%\item  Montrer que l'ensemble ($\Delta$) des points $m$ d'affixe 
%$z =1 + \text{j}\omega$ lorsque $\omega$ d�crit l'intervalle
%$[0~;~+\infty[$ est une demi-droite que l'on caract�risera. 
%\item  Quel est l'ensemble ($\mathcal{C}$) des points $M$ d'affixe 
%$Z = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$ 
%lorsque $\omega$ d�crit l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ ?
%
%\item  Repr�senter, dans le rep�re $(O;\vec{u},\vec{v})$ les
%ensembles ($\Delta$) et ($\mathcal{C}$). 
%\end{enumerate}


\end{document}

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